Étude de la dérivabilité d'une fonction inverse - Exemple 2

Soit  `f`  la fonction définie sur  \(]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\)  par  \(f(x)=\dfrac{3}{x}\) .
Étudions la dérivabilité de  `f`  en  `a=4`  .

Soit  `h`  un réel non nul tel que  \(4+h \in \mathbb ]0;+\infty[\) .
On a : 

`\tau_4(h)=\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\frac{3/(4+h)-3/4}{h}`

`\tau_4(h)=\frac{(-3h)/(4(4+h))}{h}=\frac{-3}{4(4+h)}`  

donc  \(\lim\limits_{h\rightarrow0}\tau_4(h)=\dfrac{-3}{4^2}=-\dfrac3 {16}\) .
Ainsi, la fonction  `f`  est dérivable en  `4`  et  \(f'(4)=-\frac{3}{16}\) .

Remarque
Dans cet exemple, nous étudions la dérivabilité, en un réel, d'une fonction définie sur deux intervalles disjoints. Pour ce faire, on se place dans l'intervalle contenant le réel considéré afin de calculer le taux de variation et, s'il existe, le nombre dérivé.